1. 第一节 微分中值定理

1.1. 费马引理

1.2. 罗尔定理

1.3. 拉格朗日中值定理

1.4. 柯西中值定理

2. 第二节 洛必达法则

3. 第三节 泰勒公式

3.1. 关于$(x – x_0)$的$n$次多项式

$$p_n(x) = a_0 + a_1(x – x_0) + a_2(x – x_0)^2 + \dots + a_n(x – x_0)^n \tag{1}$$

3.2. 替换公式(1)的系数

将系数$a_0,a_1,\dots,a_n$替换成$x_0$处的函数值$f(x_0)$和各阶导数$f'(x_0),f^{\prime \prime}(x_0),\dots,f^(n)(x_0)$,得到
$$p_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0) + \frac{f^{\prime \prime}(x_0)(x – x_0)^2}{2!} + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)(x – x_0)^n}{n!} \tag{2}$$

3.3. 泰勒(Taylor)中值定理

如果函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有直到$(n+1)$阶导数,则对任一$x\in(a,b)$,有
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0) + \frac{f^{\prime \prime}(x_0)(x – x_0)^2}{2!} + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)(x – x_0)^n}{n!} + R_n(x) \tag{3}$$
其中,
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x – x_0)^{n+1}\tag{4}$$
这里$\xi$是$x_0$与$x$之间的某个值.

3.4. 拉格朗日型余项

多项式$(2)$称为函数$f(x)$按$(x – x_0)$的幂展开的$n$次泰勒多项式,公式$(3)$称为函数$f(x)$按$(x – x_0)$的幂展开的带有拉格朗日型余项的$n$阶
泰勒公式, 而$R_n(x)$的表达式$(4)$称为拉格朗日型余项.

3.5. 佩亚诺型余项

如果对于某个固定的$n$,当$x\in(a,b)$时,$\left |f^{(n+1)}(x) \right | \leq M$,则有估计式,
$$\left | R_n(x) \right | = \left | \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x – x_0)^{n+1} \right | \leq {\frac{M}{(n+1)!} \left | x – x_0 \right |}^{n+1} \tag{5} $$
及
$$\lim_{x \to x_0}\frac{R_n(x)}{(x – x_0)^n} = 0$$
由此可见,当$x{\to}x_0$时误差$\left | R_n(x) \right |$是比$(x – x_0)^n$高阶的无穷小,即
$$R_n(x) = o[(x – x_0)^n] \tag{6}$$
在不需要余项的精确表达时,$n$阶泰勒公式也可写成

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0) + \frac{f^{\prime \prime}(x_0)(x – x_0)^2}{2!} + \dots +$$
$$ \frac{f^{(n)}(x_0)(x – x_0)^n}{n!} + o[(x – x_0)^n] ,\tag{7}$$

$R_n(x)$的表达式$(6)$称为佩亚诺(Peano)型余项,公式$(7)$称为$f(x)$按$(x – x_0)$的幂展开的带有带有佩亚诺型余项的$n$阶泰勒公式.

3.6. 麦克劳林(Maclaulin)公式

在公式$(3)$中,如果取$x_0 = 0$, 则${\xi}$在$0$与$x$之间,因此可令$\xi={\theta} x(0{\lt}x{\lt}1)$, 则可推导出带有佩亚诺型余项的麦克劳林(Maclaulin)公式,从而泰勒公式变成较简单的形式,即所谓的带有佩亚诺型余项的麦克劳林(Maclaulin)公式.

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)x^2}{2!} + \dots + \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} + $$
$$\frac{f^{(n+1)}({\theta}x)}{(n+1)!}x^{n+1} (0{\lt}\theta{\lt}1) \tag{8}$$

3.7. 带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式

在泰勒公式(7)中,如果取$x_0=0$可得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式如下:
$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)x^2}{2!} + \dots + \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} + o(x^n) \tag{9}$$

3.8. 泰勒公式近似公式

由公式(8)或(9)可得近似公式

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)x^2}{2!} + \dots + \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}$$

误差估计式(5)变成

$$\left | R_n(x) \right | \leq \frac{M}{(n+1)!} \left | x \right|^{n+1} \tag{10}$$

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