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第一章 函数与极限

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1. 第一节 映射与函数

1.1. 集合

1.2. 映射

1.3. 函数

1.3.1. 函数的概念
1.3.2. 函数的几种特性
1.3.2.1. 函数的有界性
  • 设函数$f(x)$的定义域为 $D$,数集$X \subset D$.如果存在数$K_1$,使得
    $$f(x) \le K_1$$
    对于任一 $x\in X$ 都成立,则称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界,而$K_1$ 称为函数 $f(x)$ 在$X$ 上的一个上界.

  • 如果存在数$K_2$,使得
    $$f(x) \ge K_2$$
    对任一 $x \in X$ 都成立,则称函数$f(x)$在 $X$ 上有下界,而 $K_2$ 称为函数 $f(x)$在 $X$ 上的一个下界.

  • 如果存在正数 $M$, 使得
    $$\left | f(x) \right | \le M $$
    对于任一 $x\in X$ 都成立,则称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界.如果这样的 $M$ 不存在,就称函数$f(x)$在 $X$ 上无界; 这就是说,如果对于任何整数 $M$,总存在 $x \in X$ , 使得$\left | f(x) \right | \gt M$, 那么函数 $f(x)$在 $X$ 上无界.
    例如 $\left | \sin x \right | \le 1$, 对于任一实数 $x$ 都成立, 故 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$内是有界的.

1.3.2.2. 函数的单调性
1.3.2.3. 函数的奇偶性
1.3.2.4. 函数的周期性
1.3.3. 反函数与复合函数
1.3.4. 函数的运算
1.3.5. 初等函数

基本初等函数:

  1. 幂函数: $y=x^\mu (\mu \in R是常数)$
  2. 指数函数: $y=a^x( a \lt 0 且 a \ne 1)$
  3. 对数函数: $y=\log_a^x (a \lt 0 且 a \ne 1, 特别当 a = e时, 记y=\ln x)$
  4. 三角函数: 如 $y=\sin x, y=\cos x, y = \tan x$ 等
  5. 反三角函数: 如 $y =\arcsin x, y=\arccos x, y=\arctan x$ 等.

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.
$e \approx 2.718281828459045$

2. 第二节 数列的极限

3. 第三节 函数的极限

3.1. 函数极限的定义

3.1.1. 自变量趋于有限值时函数的极限

定义1 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义.如果存在常数 $A$,对于任意给定的正数 $\varepsilon$ (不论它多么小),总存在正数 $\delta$,使得当 $x$ 满足不等式 $0 \lt \left | x – x_0 \right | \lt \delta$ 时,对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式
$$\left | f(x) – A \right | \lt \varepsilon ,$$
那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限,记作
$$\lim_{x \to x_0}f(x)=A \quad或\quad f(x) \to A \quad (当 x \to x_0).$$

定义1 可以简单的表述为:
$$\lim_{x \to x_0 }f(x)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, 当 \quad 0 \lt |x – x_0| \lt \delta \quad时,有\quad |f(x) – A| \lt \varepsilon$$

函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时极限存在充分必要条件左极限右极限各自存在并且相等,即
$$f({x_0}^-)=f({x_0}^+)$$

3.1.2. 自变量趋于无穷大时函数的极限

定义2 设函数 $f(x)$ 当 $\left | x \right |$ 大于某一正数时有定义. 如果存在常数 $A$, 对于任意给定的正数 $\varepsilon$ (不管它多么小), 总存在着正数 $X$, 使得当 $x$ 满足不等式 $|x| \gt X$ 时,对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式
$$\left | f(x) – A \right | \lt \varepsilon,$$
那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限,记作
$$\lim_{x \to \infty}f(x) = A \quad 或 \quad f(x) \to A \quad (当 x \to \infty) $$

定义2 可以简单的表述为:
$$\lim_{x \to \infty }f(x)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0, \exists X \gt 0, 当|x| \gt X时,有\quad |f(x) – A| \lt \varepsilon$$

3.2. 函数极限的性质

定理 1 (函数极限的唯一性) 如果$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在,那么这个极限唯一.

定理 2 (函数极限的局部有界性) $\lim_{x \to x_0}f(x) = A$,那么存在常数 $M \gt 0$

TBD…

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